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引言

上一章节，我们介绍了神经网络，同时在后面的扩展遗留了几个问题。其中一个问题就是代价函数的选择。常规的机器学习算法中，我们都是选取的二次函数作为代价函数，这个没有什么大的问题，但是本章我们分析一下二次代价函数，看下二次代价的性质，同时看下是否有其他更好的代价函数可供我们选择。

二次代价函数

上一章节的神经网络中，我们选择了二次代价函数与sigmoid激活函数作为例子，引出介绍了神经网络。利用梯度下降算法，能够更新权重，使网络具有了学习的能力。

为什么二次代价函数学习效率会比较差

回顾一下梯度下降算法，其中的更新权重的方程如下所示：

$$w_{k}\rightarrow w_{k}^{'} = w_{k} - \eta \frac{\partial C}{\partial w_{k}}$$

$$b_{l}\rightarrow b_{l}^{'} = b_{l} - \eta \frac{\partial C}{\partial b_{l}}$$

其中$\eta$是学习速率，当给定时，那么权重的更新就完全取决于后面的偏导数。也就意味着权重的更新大小将完全取决于后面的偏导数。那么我们来分析一下偏导$\frac{\partial C}{\partial w_{k}}$

回顾一下：

$$C(w,b) = \frac{1}{2n} \sum_{x} || y(x) - a ||^{2}$$

$$\sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$

其中

$$z= \sum_{j}^{} w_{j} *x_{j} + b$$

$$a= \sigma (z)$$

根据链式求导法则：

$$\frac{\partial C}{\partial w_{k}} = \frac{\partial C}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w_{k}} = -\frac{1}{n} \sum_{x} (a-y) \sigma'(z) x_j$$

其中$(a-y)$是输出与实际的差值，也就是误差，误差越大，那么权重的衰减就会越大，那么也就意味着学习效率越快，但是这里我们看到方程式中还乘以了一个导数$\sigma'(z)$ 我们看下$\sigma(z)$的图像

我们可以看到在最开始的地方，导数比较小，中间部分导数比较大，尾部导数依旧比较小，这也就意味着我们的权重更新最初是很慢的，也就意味着我们刚开始的学习效率是比较差劲的。

交叉熵代价函数

既然二次代价函数学习dasfadfafd效率比较差，那么是否存在其他的代价函数，能够消除二次代价函数存在的这个问题呢？这里我们引入交叉熵代价函数

$$C(w,b) = - \frac{1}{n} \sum_{x}[ y \ln a +(1-y) \ln (1-a)]$$

交叉熵函数具有非常优良的性质，同样我们根据链式求导法则：

$$\frac{\partial C}{\partial w_{k}} = \frac{\partial C}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w_{k}} = -\frac{1}{n} \sum_{x} (\frac{y}{a} - \frac{1-y}{1-a}) \sigma'(z) x_j = \frac{1}{n} \sum_{x} (\frac{(\sigma(z)-y)}{\sigma(z)(1-\sigma(z))}) \sigma'(z) x_j$$

同时由于：

$$\sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$

$$\sigma' = {\sigma(z)}(1-\sigma(z))$$

将其带入到上面的导数公式，可得：

$$\frac{\partial C}{\partial w_{k}} = \frac{1}{n} \sum_{x} (\sigma(z)-y) x_j$$

这个性质就很优良了啊。权重的减少完全取决于误差，而跟激活函数的导数无关了。也就意味着初始的误差越大，学习效率越高。这就和人类的行为一致了，因为当人类犯错误的时候，才能更好的学习到东西，机器也应该如此啊。